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第一部分 圆的极小性质1

1．Steiner的四连杆法1

2．存在问题3

3．多角形的面积4

4．四连杆法对于多角形的应用7

5．多角形的存在证明9

6．等边多角形和三角法的表示式12

7．曲线的弧长19

8．曲线按多角形的逼近22

9．有界跳跃函数25

10．闭曲线的面积27

11．平面等周问题的解29

12．一些应用32

13．关于积分概念34

14．历史性的文献38

第二部分 球的极小性质43

15．Steiner的证法43

Ⅰ．问题的提出43

Ⅱ．Steiner的对称化44

Ⅲ．对Steiner证法的批判45

16．凸体和凸函数47

Ⅰ．双变量的凸函数47

Ⅱ．一个凸体通过一些不等式的确定48

Ⅲ．单变量的凸函数50

Ⅳ．支持直线、支持平面52

Ⅴ．一个点集的凸包、凸多面体53

Ⅵ．支持函数54

17．体积和表面积54

Ⅰ．多面体的体积和表面积54

Ⅱ．通过多面体的逼近55

Ⅲ．任意凸体的体积和表面积的定义56

Ⅳ．收敛的凸体序列58

Ⅴ．体积与表面积的连续性59

18．Bolzano-Weierstrass关于凝聚点存在定理的一个拓广60

Ⅰ．凸体的选择定理60

Ⅱ．Cantor的对角线法61

Ⅲ．所选序列的收敛性62

Ⅳ．和以前收敛定义的相一致性64

Ⅴ．收敛概念的第二种表示65

19．对称化67

Ⅰ．收敛凸体序列的对称化67

Ⅱ．对体积和表面积的作用69

Ⅲ．逼近多面体的对称化70

Ⅳ．H？lder中值定理的应用72

Ⅴ．上述估值的引进73

Ⅵ．H.A.Schwarz的不等式75

Ⅶ．表面积的缩小76

Ⅷ．球的等周性质78

20．一些补充注记79

Ⅰ．论对凸的对照体的限制79

Ⅱ．关于二重积分的存在性82

Ⅲ．“凸体”和“凸函数”等概念83

第三部分 凸体论中的Schwarz,Brunn和Minkowski的诸定理87

21．Schwarz的构造法和Brunn的定理87

Ⅰ．H.A.Schwarz的构造法87

Ⅱ．收敛性证明88

Ⅲ．关于重心90

Ⅳ．H.Brunn的一个定理91

Ⅴ．H.A.Schwarz的一个定理92

22．Brunn和Minkowski定理93

Ⅰ．凸体的线性族和凸性族93

Ⅱ．凸性族的对称化95

Ⅲ．与一个线性族的凸体体积有关的Brunn定理的证明96

Ⅳ．线性族的对称化98

Ⅴ．Minkowski对Brunn定理的补充100

Ⅵ．Minkowski不等式101

Ⅶ．对M2-4πO≥0的第二证明103

23．补充事项104

Ⅰ．文献104

Ⅱ．Wirtinger的引理105

Ⅲ．应用106

Ⅳ．Wirtinger引理在球面上的拓广108

Ⅴ．关于表面积的Minkowski公式110

Ⅵ．凸泛函111

第四部分 凸体极值中的新课题115

24．在一个凸曲面内可无滑动地滚转的最大球的决定115

Ⅰ．整体微分几何115

Ⅱ．一凸曲线的最小和最大密切圆116

Ⅲ．与曲面曲率有关的Euler公式的一个对偶对象118

Ⅳ．空间课题的解120

25．凸曲面所应受到的曲率限制121

Ⅰ．问题的提出和归结到的旋转面121

Ⅱ．Schwarz构造法的应用121

Ⅲ．直径的不变性122

Ⅳ．Bieberbach的一个定理124

Ⅴ．总曲率在对称化中的抑制125

Ⅵ．总曲率在极限过程中的抑制128

Ⅶ．为对旋转面的证明而作的一些准备130

Ⅷ．纺锤形的常总曲率旋转面131

Ⅸ．一些成果134

Ⅹ．O.Bonnet的一个定理136

26．对曲率的其他限制137

Ⅰ．问题的提出和其到旋转面的归结137

Ⅱ．硬化的性质138

Ⅲ．支持函数的微分几何139

Ⅳ．总曲率在硬化中的抑制142

Ⅴ．干酪形的常总曲率旋转面143

Ⅵ．平均曲率在硬化中的抑制146

附录 关于凸体的其他研究的瞭望149

Ⅰ．凸体垂足的面积150

Ⅱ．凸体垂足的周长151

Ⅲ．Minkowski的常幅体153

Ⅳ．常亮度的体154

Ⅴ．有心凸体的积分表示156

Ⅵ．与有心卵形面有关的公式158

Ⅶ．椭球在卵形面中的特征159

Ⅷ．一条凸闭曲线的顶点的最少个数161

Ⅸ．关于卵形面微分几何的其他内容163

评注&张高勇167

编者致谢185